Контрольные карты (I). Контролируемые величины и виды карт. Сбор данных.

    Контрольные карты, самыми распространенными из которых являются карты Шухарта, применяют для оценки управляемости процессов. Карты строят для множества производственных процессов, имеющих как количественно выраженные характеристики (например, отклонения размеров деталей, погрешности анализов и пр.), так и качественные характеристики, преобразованные в количественную форму (например, доля несоответствующих деталей в выборке).

    Мы будем использовать контрольные карты для оценки воспроизводимости результатов анализов электролитов для гальванопластики. Но попутно мы рассмотрим, как можно применить различные виды карт и для других задач в гальваническом производстве и электроформовании. Мы разберём принципы выбора параметров, наиболее эффективно характеризующих изменчивость процесса, принципы сбора данных, предварительного анализа, построения контрольных карт, определения контрольных границ и оценки управляемости процесса.

    В ходе работы с контрольными картами наблюдают тенденции изменения во времени двух величин – оценки средних значений контролируемой величины и оценки изменчивости этой величины внутри одной выборки.

Выбор способа выражения оценок средних величин

    Оценки средних могут быть выражены следующими величинами (статистиками):
Среднее арифметическое, представляющее собой сумму измеряемых значений хi, делённое на количество измерений n:

х¯ = (∑хi)/n

Это самый распространённый вид оценки средних тенденций процессов.

Среднее квадратическое, равное квадратному корню из отношения суммы квадратов отдельных измерений к их числу:

Ms = (∑хi2/n)1/2

С помощью этого вида оценки вычисляют, например, среднемассовую молекулярную массу полимеров.

Среднее геометрическое, определяющееся путём перемножения всех значений выборки и последующего извлечения из произведения корня степени n (количество измерений):

Mg = (∏xi)1/m = (x1•x2•…•xi•…•xn)1/n

Данный вид оценки среднего применяют, например, при оценке темпов роста, когда последующее измерение зависит от предыдущих. При оптимизации процессов обобщённую функцию желательности выражают средним геометрическим желательных отдельных свойств.

Среднее гармоническое вычисляется согласно следующему выражению:

Mgr = n (∑хi-1)-1

Может применяться по отношению к количествам, не зависящим друг от друга.

Взвешенное среднее арифметическое равно отношению суммы произведений значения признака и частоты повторения данного признака к сумме частот всех признаков.

Ма = (∑miхi)/∑mi

Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Также используются два нерасчётных параметра:

Мода – представляет собой самое часто встречающееся значение в выборке.

Медиана (срединное значение) представляет собой центральную по размерам величину, определённую после того, как рассматриваемые величины расставлены в порядке возрастания.

При нечётном количестве значений в выборке:

Md = x(n+1)/2

При чётном количестве значений в выборке посередине оказываются два числа, поэтому за медиану принимают их среднее арифметическое:

Md = (xn/2 + x(n/2)+1)/2

   Существуют также и другие величины для оценки средних тенденций контролируемой величины, но на практике обычно применяют средние арифметические и медианы. Медиану применяют в случае, когда удобно получать значение без предварительных расчётов и когда на среднее значение сильно влияют грубые промахи (выбор медиан и мод повышает робастность метода). В нашем случае выбор медиан, наоборот, только усложнит расчёты (средние арифметические считаются в Excel автоматически и эти расчёты не требуют никаких усилий оператора), а робастность не является решающим фактором. Поэтому в дальнейших расчётах мы будем использовать в качестве оценки средних тенденций процесса простое среднее арифметическое.

    Для оценки изменчивости величины внутри одной выборки применяются следующие величины:

Размах (R), представляющий собой разность между максимальным и минимальным значением величины внутри одной выборки:

R = xmax - xmin

Стандартное отклонение, представляющее собой корень из суммы квадратов разностей измерений xiи среднего арифметического измерений х¯, делённой на степень свободы n-1:

S = [( ∑(хi – х¯)2 )/(n-1)]1/2, где n– количество измерений.

• Коэффициент вариации V, характеризующий разброс показателей относительно среднего арифметического:

Vх = S/х¯,  где S – стандартное отклонение, а х¯– среднее арифметическое.

  Стандартное отклонение более эффективный показатель изменчивости процесса, особенно при больших объёмах выборки, но он является менее чувствительным при обнаружении таких особых причин изменчивости, которые делают только одно значение в выборке необычным. Те же рассуждения справедливы и для коэффициента вариации.

В наших расчётах мы будем применять размахи – они более эффективны при малых выборках (которые мы и будем использовать для построения контрольных карт), и являются легко вычисляемым параметром.

Основные типы контрольных карт

     Согласно ГОСТ Р 51814.3-2001 (любопытно отметить, что данный ГОСТ является калькой руководства корпораций Крайслер, Форд Мотор компани и Дженерал Моторс корпорейшн «Статистическое управление процессами.SPC») контрольные карты подразделяются на следующие типы:

Карты для количественного признака:

•• Карты средних и размахов (X‾-Rкарты). Применяются для выделения повторяемости процесса от детали к детали, в нашем случае - от химического анализа к анализу, в случае малых выборок.

•• Карты средних и стандартных отклонений (X‾-Sкарты). Применяются для выделения повторяемости процесса от детали к детали, от хим.анализа к анализу и пр. в случае средних и больших выборок.

•• Карты медиан (Х~-Rкарты). Применяются при возможности появления грубых промахов внутри одной выборки. Например, они могут применяться при контроле толщины гальванических покрытий с помощью вихретоковых толщиномеров типа «Константа», «ИТГП» и пр.

•• Карты индивидуальных значений и скользящих размахов (X-MR). Применяются в случае дорогостоящих и трудоёмких испытаний или в случае относительной однородности процесса во времени. Например, они могут применяться при контроле гальванических электролитов (их состав однороден во времени; по крайней мере, должен быть однородным).

Карты для альтернативного признака:

•• Р-карты строятся для доли несоответствующих деталей в контролируемой группе (например, отбирают по 50 покрытых никелем пластиковых деталей в смену, измеряют сцепление гальванического покрытия с полимерной основой и фиксируют отношение количества несоответствующих деталей к объёму выборки).

•• np-карты строятся для действительного числа несоответствующих единиц продукции в равных по количеству подгруппах. Например, каждую неделю из установок электроформования извлекается 20 никелевых волноводов, выращенных на моделях из оргстекла. Какая-то часть волноводов может содержать дефекты, например, отслоения металла от модели, приводящие к изменению геометрии внутреннего канала. Для контрольной карты берут реальное количество несоответствующих волноводов на партию в 20 шт. и наносят эти значения на карту.

•• С-карты строятся для числа несоответствий в контролируемой партии при постоянном объёме выборки. Такие карты могут строиться для количества дефектов на тонкостенных плоских деталях, выращенных из меди (включая не только рабочие поверхности деталей, но и технологические области). Например, подгруппа деталей представляет собой одну тонкослойную плату, содержащую сразу 50 деталей. Для построения контрольной карты подсчитывается количество дефектов (дендритов, неравномерностей геометрии и пр.) на всех деталях платы и это количество наносится на контрольную карту.

•• U-карты строятся для числа несоответствий подгруппы, отнесённой на единицу продукции. В этом случае объём выборки может не быть постоянным. Можно применять при контроле плоских деталей из примера для С-карт за исключением того, что на карту наносится не количество несоответствий в группе, а отношение количества дефектов во всех деталях группы к количеству деталей в группе (в нашем случае 50 шт.). Отношение количества дефектов к количеству деталей наносится на контрольную карту.

   Наиболее подходящими для оценки стабильности результатов химического анализа при малых выборках будут карты средних и размахов (X‾-Rкарты).

    Осталось определиться только с тем, средние и размахи каких величин мы будем наносить на контрольную карту, величину выборок данных и частоту взятия выборок.

    Для составления карты средних значений мы можем выбрать две величины – относительную ошибку определения при 95% доверительной вероятности (Р=0,95) или коэффициент вариации (разброс показателей относительно среднего арифметического, представляющий собой отношение квадратического отклонения к среднему арифметическому). При определённых условиях (равное количество параллельных измерений и уровень доверительной вероятности) эти две величины взаимосвязаны и пропорциональны, поэтому не имеет особого значения, какую из них мы выберем. Если  химические анализы от раза к разу выполняются с разным количеством параллельных измерений, тогда мы рекомендуем использовать коэффициент вариации; если количество параллельных измерений и уровень доверительной вероятности одинаковы от анализа к анализу, то можно использовать относительную ошибку определения. В нашем случае анализ всегда проводится из трёх параллельных измерений и оценка по t-критерию всегда ведётся для 95%-й доверительной вероятности, поэтому мы будем использовать для построения контрольной карты относительную ошибку определения при Р=0,95.

    При нанесении данных на одну контрольную карту нельзя смешивать данные по методикам, имеющим разные метрологические характеристики. Например, нельзя вычислять среднее из результатов титриметрического анализа, имеющего погрешность, как правило, менее 1%, и данных фотометрического анализа, погрешность которого иногда доходит до 5%. Также не следует усреднять результаты по разным методикам анализа по принципу взвешенных средних (напр., наносить на контрольную карту характеристики одной выборки в 10 единиц, пять из которых относятся к результатам фотометрического анализа, а пять - к результатам титриметрического), т.к. это уменьшает селективность метода при последующем анализе - получается нечто типа «средней температуры пациентов по больнице». Количество контрольных карт должно соответствовать количеству групп методик, имеющих схожие метрологические характеристики. Для оценки однородности данных далее мы рассмотрим несколько статистических методов.

    Ранее мы приводили расчёты распространения погрешностей. Использовать их для расчёта статистик наносимых на контрольные карты мы не рекомендуем. Если учитывается распространение погрешностей, то количество контрольных карт также должно увеличиваться, что усложняет контроль и плодит документацию.
     Величина выборки должна определяться исходя из удобства работы с данными. Чем больше размер выборки, тем точнее будут данные анализа этой выборки, но тем более громоздкими и неудобным будут расчёты. Обычно применяют малые выборки в 5-10 единиц. Мы будем руководствоваться соображениями оперативности и простоты расчётов, поэтому отбирать минимальное количество в 5 единиц.

     Периодичность отбора лучше определять эмпирическим путём исходя из загруженности лаборатории. Например, можно отбирать данные по каждому десятому измерению из журнала анализов, группировать их в выборки по 5-10 единиц и наносить среднее и размах на контрольную карту, либо использовать любой другой удобный метод случайного отбора данных. При решении этого вопроса можно воспользоваться рекомендациями РМГ 76-2004 (п.6.1.3).

Литература:

1. Статистическое управление процессами. SPC. перевод с англ. – Н.Новгород: АО НИЦ КД, СМЦ «Приоритет», 2001 г., 181 с.(издание 4-ое).

2. Агаянц И.М. Азы статистики в мире химии: Обработка экспериментальных данных – СПб: Научные основы и технологии, 2015. – 618 с.