Определение погрешностей в методе градуировочного графика

Теоретическая часть:

      При построении калибровочной прямой методом наименьших квадратов считается, что стандарты для калибровки известны с абсолютной правильностью или по крайней мере погрешности стандартов на одной из осей координат несущественны по сравнению с погрешностями откликов прибора на другой оси. Каждый отсчёт показаний шкалы прибора является единичным наблюдением, взятым из генеральной совокупности всех возможных отсчётов показаний шкалы прибора, при введении в него данного химического вещества. Такая ситуация изображена на рисунке:

определение погрешности в методе

       Небольшие кривые нормального распределения, начерченные на графике, представляют генеральную совокупность всех возможных сигналов прибора при измерении стандартов 0,300, 0,600, 0,900 мг/дм3. Точка А, наблюдаемая в процессе калибровки, расположена близко к центру этого распределения (в пределах ±2σ, обозначенных штрихами). В данной ситуации точка А, представляющая значение оптической плотности стандарта 0,300 мг/л, находится близко к генеральному среднему. Но при измерении необходимо, чтобы калибровочная прямая проходила не через точку А, а точно через центр распределения, который обозначен стрелкой, для чего мы пользовались методом наименьших квадратов. Для минимизации погрешности относительно оси У при составлении градуировочного графика используются средние значения трёх параллельных измерений каждого стандартного образца (см. «Статистическая обработка данных титриметрического анализа»), поэтому эти расчёты мы рассматривать не будем. Мы рассмотрим расчёт доверительных интервалов для коэффициента bи полученной в ходе измерения концентрации вещества в исследуемом растворе xk.

       При определении недостоверностей при работе методом градуировочного графика первая необходимая величина, надлежащая определению, - дисперсия, обусловленная рассеянием точек относительно линии регрессии, выраженная уравнением:

s2x,=  (∑V2 – b2∑U2)/(n-2)

Далее определяется дисперсия коэффициента регрессии или стандартного отклонения b:

s2bx,=  s2x,/ ∑U2

Доверительные интервалы задаются обычным способом по таблице коэффициентов Стьюдента при доверительной вероятности 95%:

ДИ = ±tα, φ * sbx,y ,

за тем исключением, что число степеней свободы k = n-2, где n– количество стандартов для градуировки.

      На практике линию регрессии (линию градуировочного графика) используются, чтобы получить оценку некоторой величины (в нашем случае концентрации железа II) xk измеряемого вещества, которая вызывает наблюдаемый отклик прибора yk (поглощение раствора). Дисперсия определяемой величины xk при наблюдении mоткликов (m – количество параллельных измерений) выражается уравнением:

s2xk  = (s2x,/ b2) * [(1/m + 1/n) + (у¯k - у¯)2 / b2∑U2)] , для этого выражения стоит отметить следующее:

а) xk – характеристика вещества, ответственного за отклик прибора. В нашем случае xk – концентрация железа II, соответствующая наблюдаемому поглощению раствора yk.

б) yk(∑yk/m) – средний отклик прибора, полученный для ряда из mизмерений. Часто проводят только одно измерение и поэтому m=1.

в) Величины s2x,y, b, n, у¯ и ∑U2 связаны с данными при калибровке прибора и имеют те же самые значения, что мы получили при уточнении градуировочного графика методом наименьшик квадратов.

     Стоит обратить особое внимание, что s2xkвозрастает по мере удаления yk от у¯. Из математического выражения следует, что недостоверность любой оценки регрессии меньше всего вероятна вблизи центра калибровочных данных и поэтому экстраполяция представляет собой очень ненадёжный метод и при измерениях не используется. Разбавление исследуемого раствора подбирается таким образом, чтобы отклик прибора при измерении попадал как можно ближе к центру градуировочной прямой.

 Доверительные интервалы для определяемой величины xk выражаются следующим образом:

ДИ = xk±tα,φ * sxk,

где φ = n-2 ≠ f (m)

Образец расчёта:

     Продолжим расчёт определения железа IIпо градуировочному графику, построенному по 6 точкам (n=6) с уравнением регрессии у = 0,002245098 + 10914,70588х  (см. Применение регрессионного анализа для построения градуировочного графика при фотометрическом анализе).

Допустим, что а) при единичном (m=1) измерении исследуемого раствора получено поглощение равное 0,527, б) при пяти (m=5) повторных измерениях среднее поглощение равно 0,527.

1) Вычисляем дисперсию относительно линии регрессии:

s2x,=  (∑V2 – b2∑U2)/(n-2) = (0,40539683 – (10914,70588^2)*0,0000000034)/(6-2) = 0,0000880245098

2) Вычисляем стандартное отклонение b:

s2bx,y  =  s2x,y  / ∑U2  =  0,0000880245098 / 0,0000000034 = 25889,561707

sbx,=  √ s2bx,= √ 25889,561707 = 160,9023359

3) Рассчитываем доверительный интервал для коэффициента b:

При доверительной вероятности 95% для φ=n-2=4 коэффициент tα,φ принимает значение 2,776 (см. таблицу коэффициентов Стьюдента).

ДИ = ±tα, φ * sbx,y= 2,776*160,9023359 = 446,66

b = (10914,70588 ± 446,66) ≈ (10915 ± 447)

4) Рассчитаем по уравнению регрессии, выразив его через x, концентрацию железа IIxkпо поглощению 0,527, полученному в ходе измерения исследуемого раствора:

x = -0,000000205695 + 0,00009161950957y

xk= -0,000000205695 + 0,00009161950957*0,527 = 0,00004807778 ≈ 0,000048 моль/л

5) Стандартное отклонение оценки регрессии s2xk  для случаев а) m=1 и б) m=5:

а) s2xk = (s2x,y  / b2) * [(1/m + 1/n) + (у¯k - у¯)2 / b2∑U2)] = (0,0000880245098 / 10914,70588^2)*[(1/1 + 1/6) + (0,527 - 0,438833)^2 / (10914,70588^2 * 0,0000000034] = 0,000000000000876218

sxk = √s2xk = √0,000000000000876218 = 0,000000936065

б) s2xk = (0,0000880245098 / 10914,70588^2)*[(1/5 + 1/6) + (0,527 - 0,438833)^2 / (10914,70588^2 * 0,0000000034] = 0,0000000000002851065

sxk = √0,0000000000002851065 = 0,0000005339536

6) Рассчитываем доверительный интервал для xk:

При доверительной вероятности 95% для φ=n-2=4 коэффициент tα,φ принимает значение 2,776 (см. таблицу коэффициентов Стьюдента).

а) ДИ = ε α,t  =±tα, φ * sxk  = 2,776* 0,000000936065 = 0,000002598

xk = (0,00004807778 ± 0,000002598) ≈ (0,0000481 ± 0,0000026) моль/л

б) ДИ = ε α,t  = ±tα, φ * sxk  = 2,776*0,0000005339536 = 0,0000014823

xk = (0,00004807778 ± 0,0000014823) ≈ (0,0000481 ± 0,0000015) моль/л

7) Рассчитываем относительную ошибку определения:
а) εотн  = (ε α,t  / хk)*100 = 0,0000026*100/0,0000481 = 5,4%

б) εотн  = (ε α,t  / хk)*100 = 0,0000015*100/0,0000481 = 3,1%

Вывод:

     Расчёты относительных ошибок измерений показывают, что использование метода наименьших квадратов не может заменить правильность самих калибровочных данных.  Метод наименьших квадратов не должен применяться только для расчётов коэффициентов a и b, но должны рассчитываться также недостоверности относительно линии регрессии по алгоритму, указанному выше. При исключении расчётов недостоверностей статистический метод используется неправильно, и химик-аналитик обманывает себя и других, приводя в своих результатах слишком много значащих цифр.

    Образец автоматических расчётов недостоверностей градуировочного графика, построенного по 6 точкам, можно скачать здесь.

 

Литература:

1. Петерс Д., Хайес Дж., Хифтье Г. Химическое разделение и измерение. Теория и практика аналитической химии. – М.: «Химия», 1978. – 816 с.

2. А.П.Крешков. Основы аналитической химии. Книга вторая. - М.: «Химия», 1971.- 456 с.